प्रायिकता
द्विपदीय या द्विपद वितरण अनुसंधान या शोध
परिकल्पना
अनुसन्धान प्रतिवेदन लेखन
13
प्रायिकता
(Probability)
दीर्घउत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)
प्रश्न 149 प्रायिकता क्या है ? प्रायिकता की गणितीय परिभाषा दीजिए तथा इसकी सीमाएँ बतलाइए।
What is probability ? Give the mathematical definition of probabiliy and describe its limitations.
अथवा
प्रायिकता की अवधारणा को समझाइए। प्रायिकता की गणितीय परिभाषा दीजिए तथा इसकी सीमाएँ बतलाइए। Explain the concept of Probability. Give the mathmatical definition of probability and describe its demerits.
प्रायिकता की अवधारणा
उत्तर
(Concept of Probability)
प्रायिकता या सम्भावना शब्द का प्रयोग सामान्य जीवन में बहुतायत से होता है। प्राय: ये कथन कहे और सुने जाते हैं कि ‘कल वर्षा की सम्भावना बहुत अधिक है’; ‘लॉटरी में अमुक के जीतने की सम्भावना बहुत कम है’, ‘अमुक विद्यार्थी की परीक्षा में सफलता की आशा पचास-पचास (fifty-fifty) है’, ‘वह सम्भवतः द्वितीयक श्रेणी में उत्तीर्ण हो जायेगा’, आदि-आदि । इन सभी कथनों में अनिश्चितता की भावना को व्यक्त किया गया है। सांख्यिकी विज्ञान में इस शब्द का प्रयोग विशिष्ट अर्थ में किया जाता है। एक दैव घटना के घटित होने की प्रत्याक्षा की माप को संभावना या प्रायिकता कहते है । परिभाषाएँ (Definitions) :
1. लाप्लास के अनुसार, “सम्भावना या प्रायिकता अनुकूल घटनाओं का समान सम्भावनाओं वाली समस्त घटनाओं के साथ अनुपात है ।”
2. कॉनर के अनुसार, “सम्भावना या प्रायिकता अनिश्चित घटनाओं के बारे में मस्तिष्क की एक स्थिति है ।”
.
·
[171]
172 / यशराज : सांख्यिकी ( बी. ए. तृतीय वर्ष )
प्रायिकता की चिरसम्पत या गणितीय परिभाषा (Classical or Mathematical Definitions of Probability) “यदि कार्यवाही, परस्पर अपवर्जी और समान रूप से घटित वाली परिस्थितियां (1) हैं और उनमें से किसी ‘A’ घटना के अनुकूल परिस्थिति है तो ‘A’ घटना के घटित होने
की सम्भावना
दूसरे शब्दों में, यदि कोई घटना m पर हो सकती है और बार नहीं हो सकती जबकि सभी ढंग (ways or cases) समप्रायिक है तो घटना के घटित होने की प्रायिकता
होगी और उसके घटित न होने की प्राथकिता
होगी।
‘प्रायिकता’ या ‘सम्भावना’ शब्द की सरल गणितीय व्याख्या निम्न प्रकार की जा
m+n
कोई घटना अनेक (m +n) प्रकार से घटित हो सकती है। घटना ‘A’ के घटित होने की अनुकूल परिस्थितियां (m) है। घटना ‘A’ के घटित होने की प्रतिकूल परिस्थितियां (m+n
m) = =n हुई।
घटना ‘A’ के घटित होने की प्रायिकता P(A):
=p ( मान लिया)
घटना ‘A’ के घटित न होने की प्रायिकता P (A) T Pend n+n n n p+g (m +n) इन प्रयुक्त चिन्हों के आधार पर हम निम्न निष्कर्ष पर पहुंचते हैं-=q ( मान लिया) m+n m+ n A का अर्थ होता है घटना A का न होना। घटना A के न होने की A” या A से भी निरूपित किया जाता है । 254 240 P(A) + PIA) 1 P(A9) 1 – P(A) या P(A) = 1 – P(A) अधिक सरल व स्पष्ट शब्दों में, सम्भावना सिद्धान्त को निम्न प्रकार परिभाषित किया जा सकता है. – p+g = या p = 1 – qयाq = 1 – p
“यदि कोई समान ढंगों से होने वाली घटनाएँ घटित हो सकती हैं, तो उनमें से किसी एक घटना के घटित होने की सम्भावना या प्रायिकता अनुकूल परिस्थितियों की संख्या का समस्त सम्भव परिस्थितियों से अनुपात है।” सूत्रानुसार,
अनुकूल परिस्थितियों की संख्या (No. of favourable cases)
समस्त सम्भावित परिस्थितियों की संख्या (Total No. of likely canes)
(i) घटना के घटने की प्रायिकता
m
POP
प्रायिकता / 173
प्रतिकूल परिस्थितियों की संख्या (No. of cases not favourable)
(ii) घटना के न घटने की प्रायिकता = समस्त सम्भावित परिस्थितियों की संख्या (Total No. of likely cases)
प्रायिकता की गणितीय परिभाषा की सीमाएँ (अथवा दोष)
1. इनमें ‘समान रूप से घटित होने वाली परिस्थितियों का प्रयोग किया जाता है। समान रूप से घटने वाली परिस्थितियां सर्वत्र सम्भव नहीं। जैसे, यदि एक पासे में कोई धातु का टुकड़ा लगाकर (Loaded dice) फेंका जाए तो सभी परिणामों की सम्भावना समान नहीं होती है। प्रायिकता की परिभाषा में समप्रायिक (equally probable) शब्द का प्रयोग किया गया है, जबकि इसी शब्द की परिभाषा दी जानी है, अतः यह परिभाषा चक्रीय (Circular) है ।
2. यह परिभाषा उस समय अपनी उपयोगिता खो देती है, जबकि सम्भव परिणामों की कुछ संख्या अनिश्चित है।
3. यह भी सम्भव है कि समान रूप से घटित होने वाली परिस्थितियों की गणना सम्भव न हो उस अवस्था में यह लागू नहीं होती ।
4. यदि परस्पर अपवर्जी परिणामों की परिगणना करना सम्भव न हो या उनकी कुल संख्या अनन्त हो तो गणितीय परिभाषा द्वारा प्रायिकता ज्ञात करना सम्भव नहीं है।
5. क्योंकि केवल तर्क पर आधारित सम्भावना का प्रयोग क्षेत्र सीमित होता है, अतः सम्भावना का निर्धारण अवलोकन, वास्तविक निरीक्षण व प्रयोग द्वारा भी किया जाना चाहिए।
प्रश्न 150. प्रायिकता की अभिगृहीतीय परिभाषा दीजिए तथा इसकी सीमाएँ बतलाइए । Give the axiomatic definition of probability and describe its limitations.
संयोगानुपात क्या है ? What is Odds ?
अथवा
उत्तर
प्रायिकता की अभिगृहीतीय परिभाषा
(Axiomatic Definition of Probability) माना किसी यादृच्छिक (या देव) प्रयोग की प्रतिदर्श समष्टि S है तथा इसकी कोई एक घटना A है। घटना A के घटित होने की प्रायिकता P(A) वह वास्तविक संख्या है जो किसी फलन P(.) के अनुसार A के साथ संगुणित ( associated) की जाती है और जो निम्न अभिगृहीत या प्राथमिक गुणों (axioms) का पालन करती है0 ≤P(A) ≤1, S की प्रत्येक घटना A के लिए P(S) = 1, अवश्यम्भावी घटना S के लिए – अभिगृहीत I : अभिगृहीत II : अभिगृहीत III : – P(AJU A2 U….) P(Aq) + P(Ag) + S की परस्पर अपवर्जी घटनाओं A, A2, के लिए यह परिभाषा यह नहीं बताती कि घटना A की प्रायिकता का मान कैसे ज्ञात करें। अतः व्यवहार में प्रायिकता का मान प्रयोग की परिस्थितियों, गणितीय तर्क तथा पिछले ****
வி 2 www
வி வ
விதாவது ஒத (அனடவது உ ஆற்றலி இடாது இமாவர் ததரி கன 21 ஜோகி தி சற்றர்
कामबार चढ़ती है तो अनुषार सफलता की क्षति कलामणी के अन
परिणाम की सापक आवृत्ति की अपूर्व है। यह है कि
20
raginin thes dnyou understand by the term probability.
(Rules of Probability) (y em xi Fre (Addition Rule of Probability) pt frem (Multiplication Rule of Probability) (4) प्राधिकता का योग नियम या प्रमेय IAddition Rule of Theorem of Probability) किसी प्रकीकी A के के बराबर होती है।
176 / यशराज : सांख्यिकी (बी. ए. तृतीय वर्ष )
उपपत्ति (Proof)
P(Ay + A + … + A) = P(Aq) + P(A2) + + P(A‡) P(A₁ UA2U …… v A) P(Aq) + P(A2) + … + P(A‡) P(A] या A, या. या A) = P (Aq) + P(A) + + …
PA)
माना कुल तरीके = N माना A, AA परस्पर अपवर्जी के अनुकूल तरीके क्रमश: a1, 22 हैं। तब किसी एक घटना के होने के अनुकूल तरीके + 22 + +az P(A, U A₂ U UA) = = &] + a2+.……….+&k N aa N a₁ + + ..
= P(Aq) + P(A2) + + P(A). *** उदाहरण–52 पत्तों में से एक पत्ता यादृच्छया चुना जाता है। (a) इसके चिड़ी को वेगम या ईंट का वादशाह होने की प्रायिकता क्या है ? (b) इसके इक्का या वादशाह होने को क्या प्रायिकता है ?
From a pack of 52 cards one card in drawn at random. fa) What is the probability that it will be a queen of club or king of diamond? (b) What is probability that it is either an ace or a king ? हल (Solution)
= वांछित प्रायिकता = क्योंकि दोनों घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं। (b) इक्का निकालने की प्रायिकता, P (A) बादशाह निकालने की प्रायिकता, P (B) = (a) • चिड़ी की वेगम निकालने की प्रायिकता तथा ईंट का बादशाह निकालने की प्रायिकता 1 52 1 52 1 52 – = 1 52 52 13 4 1 52 13 = 1 52 26 1 1 अभीष्ट प्रायिकता P(AB) =P(A) + P(B) vaila at it is 13 13
2
(ii) प्रायिकता का गुणन नियम अथवा प्रमेय (Multiplication Rule or Theorem of Probability) (i) दो स्वतन्त्र घटनाओं A तथा B के साथ-साथ घटने की प्रायिकता प्रत्येक घटना की अलग-अलग घटित होने की प्रायिकताओं का गुणनफल है अर्थात P(AB) = P(A) P(B)
(ii) यदि A तथा B स्वतन्त्र न हो तो उनके साथ-साथ होने की प्रायिकता पहली घटना की प्रायिकता और दूसरी घटना की प्रतिवन्धित प्रायिकता के गुणनफल के बगवा होती है अर्थात्
या
या
प्रायिकता / 177
P(AB) = P(A) P(B/A)
P (A B) = P(B) P(A/B)
विशिष्ट सूत्र(i) यदि P(A P{A° B) = P(A) P (B), तव P(AB) = P (A) P(B) B) = P(A) P(B), P(A B°) = P(A°) P!Bº) (ii) यदि घटनाएँ A और B स्वतन्त्र हैं तो ● P(A_ँ_B) = P (A) + P(B) – P(A) P(B) = 1 – P (न तो A और न B) = 1− P (A© 、B°) = 1– P (A) P(B) (iii) यदि घटनाएँ A और B स्वतन्त्र हैं तो P(A ∩ B°) + P(A°n B) = P (एक और केवल एक) = P(A) P(Bº) + P(A) P(B)
या
(iv) यदि घटनाएँ A, B, C, D स्वतन्त्र हैं तो P(ABCD) = P(A) P(B) P(C) P(D) PAvBv CUD) = 1- P(ABCD) = 1– P(A) P(B) P(CS) P(DS) उदाहरण—दो स्वतन्त्र घटनाओं A तथा B के चटने की सम्भावनाएँ क्रमशः 0.7 तथा 0.54 है। इसकी सम्भावना क्या है कि एक प्रयोग में केवल A या B घंटेगी ? The Probabilities of the occurrence of two independent events A and B are 0.7 and 0.54 respectively. What is probability that only one of the A or B will occur in an experiment? हुल (Solution)
P(एक और केवल एक) = P(A B) + PAB)
= (A) P(Ē ) + P(A) P(B),
चूंकि A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं। = P(A) [1−P(B)] + [1-P (A)] P(B) = (0.7) (1-0.54) + (1-0.7) (0.54)
= 0.7 x 0.46 + 0.3 x 0.54
= 0.322 + 0.162 = 0.484
प्रश्न 153 प्रतिवन्धित प्रायिकता से क्या अभिप्राय है ? उदाहरण सहित बतलाइए। What is meaning of conditional probability? Describe with example.
प्रतिबन्धित प्रायिकता
(Conditional Probability)
7 किसी एक घटना A, के घटने के बाद दूसरी घटना B के घटने की प्रायिकता उसकी प्रतिवन्धित प्रायिकता कहलाती है, जबकि यह ज्ञात हो कि पहली घटना, A हो चुकी
घटना B की प्रतिवन्धित प्रायिकता, जबकि घटना A हो चुकी हो
= P(B/A) = P(A/B) P(A) P(
A) = 0
178 / यशराज : सांख्यिकी ( बी. ए. तृतीय वर्ष )
PAB) = P(A) P(B/A)
यहाँ PAB) को घटना A तथा B की संयुक्त प्रायिकता (Joint probability)
P(A) को घटना A की सीमान्त प्रायिकता (marginal probability) कहते हैं यह विचार करते हुए कि घटना B हुई है या नहीं।
यदि A, Ag, Ag, Am, m घटनाएँ हो तो adm P(A, A₂ A₂ n 3 H P(A)
PAAAA उदाहरण- एक थैले में 6 लाल और 4 हरी गेंदे हैं। आंखों पर पट्टी बांधकर एकएक करके दो गेंदे विना पुनर्स्थापन के निकाली जाती हैं। क्या सम्भावना है कि दोनों गेंद लाल रंग की होगी ? …
A bag contains 6 red and 4 green balls. Two balls are drawn blind folded one by one without replacement. What is the probabil ity that both balls will be of red colour?
हल (Solution)
माना
तथा
P(A./A) P(A/ AA2)
B – पहली गेंद लाल रंग की है दूसरी गेंद लाल रंग की है
P(A)
6 644
P(B/A) =
10
6-1 (6+4 1)
P दोनों गेंदें लाल रंग की होगी
P (An B) P(A) P(B/A)
10
5
6
5
क्रियात्मक प्रश्न (Practical Questions)
प्रश्न (2)
154. एक थैले में 10 काली और 20 सफेद गेंदें हैं। (1) एक काली गेंद तथा एक सफेद गेंद निकालने की क्या प्रायिकता है ?
A Bag contains 10 black and 20 white balls, What is the probability of drawing (i) a black ball, and (ii) a white ball?
अनुकूल परिस्थितियों की संख्या कुल परिस्थितियों की संख्या
T
=
हल (Solution) :
=
=
–
x
(i)
प्रायिकता / 179
काली गेट 202 HA 10 30 20 2 30 3 3
प्रश्न 155. अंग्रेजी की पुस्तक में से चुना गया एक स्वर (या वॉवेल ) 0 होगा, इसकी क्या प्रायिकता है ?
What is the probability that a vowel selected at random in a book of English in an O?
हल (Solution) :
अंग्रेजी वर्णमाला में 6 स्वर A, E, I, O और U होते हैं इसलिए सभा घटित होने वाली घटनाओं या स्थितियों की संख्या (Total number of equally likely events), n = 5
अनुकूल परिस्थितियां, a = 1 = a 1 अभीष्ट प्रायिकता n H
अतः
प्रश्न 156. शब्द ‘Probability’ में से एक अक्षर यादृच्छिक रूप से चुना गया उसके स्वर होने की क्या प्रायिकता है ?
A Single letter is selected at random from the word Probability What is the probability that it is a vowel?
हल (Solution) :
कुल अक्षर n = 11 स्वरों की संख्या, a = 4
– अभीष्ट प्रायिकता = 11
३
प्रश्न 157. 100 टिकटों पर 1 से 100 तक की संख्या लिखी गयी है (प्रत्येक टिकट पर एक)। टिकट को अच्छी तरह मिलाकर उनमें से एक टिकट पाइच्छिक रूप से निकाला गया है। निकाले गये टिकट पर लिखी संख्या किसी पूर्णाक संख्या के वर्ग होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
There are 100 tickets numbered from 1 to 100. They are well shuffled and one ticket is drawn at random. Find the probability that the number on the ticket drawn is square of an integer. हल (Solution) :
100 में से एक टिकट यादृच्छिक रूप से निकालने के कुल तरीके, N = 100 किसी पूर्णांक संख्या का वर्ग होने वाली संख्याएँ1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81. 100. अनुकूल तरीके – 10
अभीह
180 / यशराज : सांख्यिकी (वी. ए. तृतीय वर्ष )
प्रश्न 158. स्त्रियों और पुरुषों की बराबर संख्या के एक समूह में 10% पुरुष और 43% स्त्रियां बेरोजगार हैं। इसकी क्या सम्भावना है कि यादृच्छिक रूप से चुना गया एक व्यक्ति रोजगार सहित होगा ? In a group of equal number of male and female 10% male and 45% female are unemployed. What is the probability that a person chosen at random will be with employment?
हल (Solution) :
माता पुरुषों की संख्या • 100 = स्त्रियों की संख्या =
दो हुई सूचना को तालिका में निम्न प्रकार लिखा जा सकता है
योग
(90)
100
(55)
इस प्रकार कुल व्यक्ति
100
100 – 100 = 200
रोजगार प्राप्त व्यक्तियों की संख्या = 90 + 55 = 145
यादृच्छिक रूप से चुना गया व्यक्ति रोजगार सहित होगा, की प्रायिकता
अनुकूल तरीके 145 =
प्रश्न 159. एक ताश की गड्डी में से पान का पत्ता या इक्का निकाले जाने की क्या
प्रायिकता है ?
=
200 40
What is the probability of drawing a card of heart or an ace from a pack of cards?
हल (Solution)
=
ताश की गड्डी में 52 पत्ते हैं। 13 पान के पत्ते हैं। 4 इक्के हैं। एक पान का इक्का
अतः पान का एक पत्ता निकालने की प्रायिकता, P(A) एक इक्का निकालने की प्रायिकता, P(B) पान का इक्का निकालने की प्रायिकता, P (AB) अत: पान का पत्ता या इक्का निकाले जाने की प्रायिकता = P (AUB) = P(A) + = = 13 4 52 52 + = = = 13 52 52 1 52 P(B) – P (AB) – = 1 16 4 52 52 13 = लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions) प्रश्न 160. यादृच्छिक प्रयोग अथवा दैव प्रयोग की परिभाषा दीजिए । Give the definition of random experiment. उत्तर- यदि किसी प्रयोग की आवश्यक अपरिवर्तित परिस्थितियों में अनेक पुनरावृत्ति
प्रायिकता / 181
की जा सकें. एकक परीक्षण में प्रयोग के अनेक सम्भव परिणाम हों, जिनमें से किसी एक (और केवल एक) का होना अनिवार्य हो, परन्तु ‘कौनला परिणाम आएगा इसका अग्रिम ज्ञान न हो सके, तो ऐसे प्रयोग को यादृच्छिक प्रयोग या दैव प्रयोग कहते हैं ।
प्रश्न 161. आत्म-चेतन प्रायिकता क्या है ?
What is Subjective Probability. उत्तरकभी-कभी किसी घटना के घटने को प्रायिकता इस घटना के घटने के बारे में उपलब्ध जानकारी के आधार पर विश्वास को मात्रा से निर्धारित की जाती है । इस प्रकार निर्धारित प्रायिकता को आत्म-चेतन प्रायिकता (Subjective Probability) या व्यक्तिगत प्रायिकता (Personalistic Probability) कहते हैं। स्पष्ट रूप से यह प्रायिकता असम्भवता (जिसकी प्रायिकता 0 है) से लेकर निश्चितता (जिसकी प्रायिकता 1 है) के मध्य निर्धारित की जाती है।
प्रश्न 162. अन्तर्वेशन- अपवर्जन सूत्र बतलाइए । Describe the Inclusion-Exclusion Formula.
उत्तरया अन्तर्वेशन अपवर्जन सूत्र (Inclusion-Exclusion Formula) यदि A तथा B कोई दो घटनाएँ हैं तो कम-से-कम एक घटना के होने की प्रायिकता O P(A_ _B) = P(A) + P(B) – P(A B) P(A + B) = P (A) + P (B) – P (AB) –
उपपत्ति (Proof)
अनुकूल तरीके माना A तथा B दो घटनाएँ इस प्रकार है कि = m, तथा A B के अनुकूल तरीके कम से कम एक घटना के होने के अनुकूल तरीके = के अनुकूल तरीके m,, तब = = my, = m1 + m_ – my B के
P(A √ B) = M1 + m2 – m3 =
my
m3
mo
=
= P(A) + P(B) – P (AB)
n
n
प्रश्न 163. आश्रित एवं स्वतन्त्र घटनाओं से क्या आशय है ? उत्तरWhat is the meaning of dependent and independent events. यदि घटना B के होने की प्रायिकता A के होने से प्रभावित होती है तो घटना B को घटना A पर आश्रित कहा जाता है। यदि घटना B के होने की प्रायिकता घटना A के होने से प्रभावित नहीं होती है, घटना B को घटना A के स्वतन्त्र कहा जाता है। संकेत रूप में यदि_P(B/A) = P(B) तो घटना B, A से स्वतन्त्र है । यदि_P(A/B) = P(A) तो घटना A, B से स्वतन्त्र है । इस प्रकार घटना A तथा B स्वतन्त्र घटना कहलाती हैं यदि और केवल यदि P(A _B) = P(A) P(B) उदाहरणार्थ–(i) एक सिक्का दो बार उछाला जाता है | A = पहली बार H आना,
n
B = दूसरी बार T आना, स्वतन्त्र हैं।
In
T
T
2
1
b
182 / यशराज : सांख्यिकी (बी. ए. तृतीय वर्ष )
(ii) माना A = 52 में से ताश का एक पत्ता निकालना इस पत्ते को वापस रखने दूसरा पत्ता निकालना, तब P (B/A) = P (B), अर्थात्, A तथा B स्वतन्त्र = के बाद, B घटनाएँ n हैं ।
वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective Type Questions)
सही विकल्प चुनकर लिखिए
1.
निश्चित घटना की प्रायिकता होती है
(अ) 0 (ब) 1 (स) 2
(द) इनमें से कोई नहीं (none of these)
एक पासा फेंका जाता है । 4 या 6 अंक आने की प्रायिकता होगी
2.
(अ) 1
(ब) ½
3.
एक साधारण पासे को फेंकने पर 2 से अधिक संख्या आने की प्रायिकता होगी
(अ)
(ब)
4.
(स) 3
यदि A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं तो P(AB) है – –
(अ) P (A). P (B)
(स) P(A) + P (B)
(7) 2/1/2 (द) 4
5.
(स) ½
(द) 22
P(A)
(ब) P(B)
लघुगणक सारणी में से एक अंक यादृच्छिक रूप से चुना जाता है । ‘यह अंक 4 या 8 हो’ की प्रायिकता होगी
(अ) ड
(ब)
6.
(द) शून्य (Zero)
(स) ½ 7
(द) =
ताश की अच्छी तरह फेंटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छिक से चुना जाता
। यह पत्ता हुकुम का होगा, इसकी प्रायिकता है
है
(अ) के
(ब) 13
7.
(स) 133 (द) 129 51 49
11
एक थैले में 5 लाल, 8 सफेद और 10 काली गेंदे हैं। एक गेंद निकाली जाती है। निकाली गई गेंद सफेद या काली होने की प्रायिकता होगी
2
18
(द)
8
(अ)
(ब)
10
8.
होगी
23
(अ) 1/36
9.
(अ) 16 15
23
(स)
23
दो पासों A एवं B को एक साथ फेंकने पर 6 का योग प्राप्त करने की सम्भाव्यता
23
(ब) 5/36
(स) 1/6
6 लाल, 4 सफेद और 5 नीली गेंदों वाले एक थैले में से एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली गई । प्रायिकता कि वह गेंद सफेद है, होगी
(द) 5/6
(ब) 15 4
(स)
5
Ans. 1. (ब), 2. (स), 3. (ब), 4. (अ), 5. (अ), 6. (अ), 7. (स), 8. (ब), 9. (ब).
15
(द)
15
1
.
.
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